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created: 2026-10-08
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  - 沪教版教参选择性必修第二册·第7章
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  - 数学/教参
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source: 沪教版教参选择性必修第二册.md（原文件第 1222–1786 行）
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# 第 7 章 概率初步(续)

> 拆分自 [[沪教版教参选择性必修第二册]] · **第 7 章 概率初步(续)**（原文件第 1222–1786 行）。
> 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。


## 一、本章概述

### 总体要求

本章是必修第 12 章“概率初步”的延续, 将进一步学习概率的相关知识, 包括随机事件的条件概率与相关的公式、随机变量及其分布列、正态分布等.

本章主要学习条件概率与相关公式、随机变量的分布与特征、常用分布. 总体意图是通过具体实例, 进一步介绍概率中的一些重要概念及计算概率的条件概率公式与全概率公式等, 帮助学生了解条件概率及其与独立性的关系, 以及全概率公式, 能进行简单计算, 进一步认识概率的直观含义; 学习随机变量的概念及其分布, 以及它们的期望与方差, 感悟随机变量及其分布的含义, 知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象; 了解几个重要的概率模型及其分布, 理解伯努利试验, 掌握二项分布, 了解超几何分布; 感悟服从正态分布的随机变量; 基于随机变量及其分布解决简单的实际问题.

本章涉及的重要概念有:条件概率 (条件概率公式、概率的乘法公式、全概率公式、次列叶斯公式),随机变量(随机变量的分布、伯努利分布、期望、期望的线性性质、方差、方差的性质), 分布 (二项分布、超几何分布、正态分布).

内容包括:随机事件的条件概率、全概率公式、随机变量及其分布列、正态分布.

(1)随机事件的条件概率

① 结合古典概型,了解条件概率的概念,能计算简单随机事件的条件概率.


② 结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系.

③ 结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.

④ 结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.

⑤ *了解贝叶斯公式.

(2)随机变量及其分布列

① 通过具体实例, 了解随机变量的概念, 理解随机变量分布及其数字特征 (期望、方差).

② 通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.

③ 通过具体实例, 了解超几何分布及其期望, 并能解决简单的实际问题.

(3)正态分布

① 通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征.

② 了解正态分布的期望、方差及其含义.

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 $8 + 1 + 1$ ,共计 10 课时. 建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td rowspan="3">7.1 条件概率与相关公式</td><td rowspan="3">3</td><td>条件概率 1 课时</td></tr><tr><td>全概率公式 1 课时</td></tr><tr><td>*贝叶斯公式 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="3">7.2 随机变量的分布与特征</td><td rowspan="3">3</td><td>随机变量与分布 1 课时</td></tr><tr><td>期望 1 课时</td></tr><tr><td>方差 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="3">7.3 常用分布</td><td rowspan="3">3</td><td>二项分布 1 课时</td></tr><tr><td>超几何分布 1 课时</td></tr><tr><td>正态分布 1 课时</td></tr><tr><td>复习与小结</td><td>1</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

本章内容共分为三节, 分别是 7.1 条件概率与相关公式, 7.2 随机变量的分布与特征, 7.3 常用分布.

本章内容对于学生来说,学习难度较大. 在古典概率模型中,事件 $A$ 发生之后, 随机现象的结果就剩下事件 $A$ 中的基本事件,从而事件 $A$ 变成了由这些基本事件所构成的新的样本空间. 这个样本空间仍然是等可能的,这时事件 $B$ 发生的概率就称为事件 $B$ 基于条件 $A$ 的概率,或在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的概率,或已知事件 $A$ 发生,事件 $B$ 发生的概率. 这称为条件概率,记为 $P\left( {B \mid  A}\right)$ . 如果事件 $A$ 与 $B$ 相互独立,就有 $P\left( {A \cap  B}\right)  = P\left( A\right) P\left( B\right)$ ,从而 $P\left( {B \mid  A}\right)  = P\left( B\right)$ ,说明在两个事件独立的情况下, 条件概率等于概率. 反之, 若条件概率等于概率, 则两个事件是独立的.

全概率公式是概率论中最基本、最重要的公式之一, 其内涵丰富, 应用广泛, 蕴含了化整为零、化复杂为简单的数学思想. 将一个复杂事件的概率分解成若干个简单事件的概率之和,即指一个事件 $A$ 发生的概率 $P\left( A\right)$ 是其在不同条件下发生的概率 $P\left( {A \mid  {\Omega }_{k}}\right)$ 的加权平均. 这样,如果能掌握一个事件的全部信息,就可以计算出一个客观概率 (古典概率). 然而, 生活中绝大多数决策所面临的信息是不完全的, 如果手中只有有限而不完整的信息, 我们就要在此情况下尽可能作出一个好的预测. 换言之, 可以先在主观判断的基础上估计一个值, 然后根据观察到的新信息不断修正. 贝叶斯公式就是当已知某个事件发生时,问导致这个结果的第 $i$ 个原因出现的可能性是多少,即执果索因.

随机变量与函数都是一种对应关系. 随机变量是把试验结果对应为实数,而函数是把实数对应为实数. 随机试验的样本空间就是随机变量作为一个函数的定义域, 随机变量的取值范围相当于函数的值域. 把随机现象的结果数量化, 即用数值表示随机现象的结果, 就可以用常见的数学工具来研究这些随机现象. 期望是概率论和数理统计中的重要概念之一, 反映了随机变量取值分布的特征, 学习期望将为今后学习概率统计知识作铺垫,同时,它在市场预测、经济统计、风险与决策等领域有着广泛的应用, 对今后学习数学及相关学科会产生深远的影响.

本章通过一些比较简单的具体实例来引入相关概念及公式, 由浅入深, 尽量使学生易于接受及理解. 采用娓娓道来的方式讲述有关的知识点, 注重逻辑推理, 力求让学生更好地体会数学概念, 体验数学的严谨性, 注重对学生数学素养的培养. 教材内容的呈现坚持从实例出发,每节内容中都设置熟悉的情境引入,重视使用生活实例, 通过朴素直白的叙述,使看起来困难的内容简洁明晰,力求明白易懂,并通过启发性的问题引发思考, 自然地展现知识与方法的产生、形成与发展过程. 例如: (1)在学习条件概率时,假设一个袋子里装有大小与质地相同的 2 个黑球、3 个白球, 两人依次随机不放回地摸 1 个球,可知第一个人摸到白球的概率为 $\frac{3}{5}$ ,问:第二个人摸到白球的概率是多少? 有的人会认为: 如果第一个人摸到的是白球, 那么剩下的白球还有 2 个,第二个人摸到白球的概率应是 $\frac{1}{2}$ ; 而如果第一个人摸到的是黑球,那么剩下的白球还有 3 个,第二个人摸到白球的概率应是 $\frac{3}{4}$ . 这就必然使学生产生疑惑, 从而引发进一步的思考. (2)在学习全概率公式时,以三个供应商供货产品的优良率来计算总体的优良率, 从而提出全概率公式, 并通过例 3 的学习, 指出这正应用了全概率公式的思想: 全概率公式是概率的可加性与概率乘法公式的组合. (3)在学习随机变量时,先提出在许多情况下,可以利用数来表示随机现象的结果, 然后给出生活中的 5 个实例, 以解释随机变量. (4) 在学习期望时, 问: 掷一颗骰子, 掷得点数的期望是 3.5, 甚至不是一个整数, 那么, 期望到底有什么意义呢? (5) 在学习方差时指出, 我们不仅能够时刻感知无处不在的随机性, 还能够感知随机性的大小. 一般来说, 如果某事件发生的可能性很大或者很小, 它的随机性就相对较小.

本章例题设计多以题组的形式给出, 力求在问题变式中辨析, 在比较中获得认知. 例题与练习或习题配套呈现, 习题是例题的延伸与推广, 是学习理解例题的逐步深化, 由此可体会巧妙处理特殊性与一般性的关系在解决问题中的科学思维方式.

本章内容的编写紧扣课程标准, 内容的呈现符合学生的认知规律, 知识的发生、 发展遵循从具体到抽象、从特殊到一般的规律, 符合学生学习实际, 能促进学生数学思维能力的提高. 教材内容的表述自然、清晰,具有较强的可读性.

### 教学提示

内容编排按照课程标准的要求,体现教育性及科学性,注意培养学生数学抽象、 数学运算、数学建模、数据分析等核心素养, 提升学生的理解能力和运算能力.

教师应通过典型案例开展教学活动, 案例的情境应是丰富的、有趣的、学生熟悉的. 在案例教学中要重视过程, 层次清楚地体现从具体到抽象、从实际到理论的过程.

教学中, 应引导学生通过具体实例, 理解可以用随机变量更好地刻画随机现象, 感悟随机变量与随机事件的关系; 理解随机事件独立性与条件概率之间的关系; 通过二项分布、超几何分布、正态分布的学习, 理解随机变量及其分布. 在教学过程中, 应在引导学生利用所学知识解决一些实际问题的基础上, 适当进行严格、准确的描述.

### 评价建议

在终结性评价中, 关注对基础知识、基本方法的掌握, 要能够结合具体实例, 理解随机事件的独立性和条件概率的关系, 理解随机变量在描述随机现象中的作用, 掌握两个基本概率模型及其应用, 了解正态分布的作用, 进一步深入理解随机思想在解决实际问题中的作用.

在过程性评价中, 关注理解概念、提升能力、培育素养. 重点提升数据分析、数学建模、数学运算和数学抽象等方面的素养.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 7.1 条件概率与相关公式

### 教学重点

(1)结合古典概型,了解条件概率；

(2)能计算简单随机事件的条件概率；

(3)会利用乘法公式计算概率；

(4)会利用全概率公式计算概率；

(5)*了解贝叶斯公式.

核心概念: 条件概率、条件概率公式、全概率公式.

核心素养:数学抽象、数学运算.

### 内容分析

本节旨在通过具体实例, 进一步介绍概率中的一些重要概念及计算概率的条件概率公式、全概率公式等, 进一步揭示概率的直观含义.

(1)条件概率. 在事件 $A$ 发生的条件下,事件 $B$ 发生,试验结果必须是既在 $A$ 中又在 $B$ 中的事件,即必须属于 $A \cap  B$ ,这等于是在一个样本空间为 $A$ 的随机试验中,求事件 $A \cap  B$ 发生的概率. 于是,条件概率 $P\left( {B \mid  A}\right)  = \frac{\left| A \cap  B\right| }{\left| A\right| }$ . 将该式的分子、 分母都除以 $\left| \Omega \right|$ ,就得到 $P\left( {B \mid  A}\right)  = \frac{P\left( {A \cap  B}\right) }{P\left( A\right) }$ . 这是一个以古典概率模型为前提所得到的公式,但其思想方法可以推广.

(2)概率的乘法公式. 事件 $A\text{、}B$ 同时发生的概率等于 $A$ 发生的概率与在 $A$ 发生的条件下 $B$ 发生的概率的乘积,即 $P\left( {A \cap  B}\right)  = P\left( A\right) P\left( {B \mid  A}\right)$ . 从样本空间的角度看,求 $P\left( {A \cap  B}\right)$ 时,是在原来的样本空间 $\Omega$ 中进行讨论的. 而求 $P\left( {B \mid  A}\right)$ 时,由于已经知道事件 $A$ 发生,所考虑的样本空间就不是 $\Omega$ 而是 $A$ 了. 因此,事件“ $A \cap  B$ ”与事件“ $B \mid  A$ ” 是完全不同的事件,它们之间的联系由乘法公式揭示.

(3)全概率公式. 把样本空间 $\Omega$ 分成 $n$ 个两两不同时发生(两两互斥)的事件 ${\Omega }_{1}$ , ${\Omega }_{2},\cdots ,{\Omega }_{n}$ ,即 $\Omega  = {\Omega }_{1} \cup  {\Omega }_{2} \cup  \cdots  \cup  {\Omega }_{n}$ ,且当 $i \neq  j$ 时有 ${\Omega }_{i} \cap  {\Omega }_{j} = \varnothing$ . 这样就可以将一个复杂事件的概率分解成若干个简单事件的概率之和,即指一个事件 $A$ 发生的概率 $P\left( A\right)$ 是其在不同条件下发生的概率 $P\left( {A \mid  {\Omega }_{k}}\right)$ 的加权平均,其中条件概率 $P\left( {A \mid  {\Omega }_{k}}\right)$ 的权重为 $P\left( {\Omega }_{k}\right) , k = 1,2,\cdots , n$ ,即成立 $P\left( A\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}P\left( {A \mid  {\Omega }_{k}}\right) P\left( {\Omega }_{k}\right)$ ,这是一个简单直观的重要公式.

例 4 回答了日常生活中抽签时抽到好签的概率是否与抽签顺序有关的问题.

(4)*贝叶斯公式. 贝叶斯公式为利用搜集到的信息对原有判断进行修正提供了有效的手段. 在贝叶斯公式及其变形中, $P\left( {{\Omega }_{i} \mid  A}\right)  = \frac{P\left( {A \mid  {\Omega }_{i}}\right) P\left( {\Omega }_{i}\right) }{P\left( A\right) } = P\left( {\Omega }_{i}\right)$ . $\frac{P\left( {A \mid  {\Omega }_{i}}\right) }{P\left( A\right) }$ . 对于任意给定的 $i$ 来说, $P\left( {\Omega }_{i}\right)$ 称为事件 ${\Omega }_{i}$ 的先验概率. 一个已经发生了的事件 $A$ 可以看作一个新的信息,在 $A$ 发生的条件下, ${\Omega }_{i}$ 发生的概率 $P\left( {{\Omega }_{i} \mid  A}\right)$ 可以看作对原概率 $P\left( {\Omega }_{i}\right)$ 的一个矫正,称为后验概率. 贝叶斯公式提供了一种通过不断学习经验来认识随机现象的思想, 是机器学习的理论基础之一.

通常,在事件 $B$ 发生的条件下发生事件 $A$ 的概率,与在事件 $A$ 发生的条件下发生事件 $B$ 的概率是不一样的. 然而,这两者具有确定的关系,贝叶斯公式就是对这种关系的陈述,即成立 $P\left( {B \mid  A}\right)  = \frac{P\left( {A \mid  B}\right) P\left( B\right) }{P\left( A\right) }$ .

例 1、例 2 旨在帮助学生理解条件概率,并直接运用条件概率公式求解. 练习 7.1 (1)的第 1、3 题旨在辨析条件概率以及两个事件同时发生的概率,习题 7.1A 组第 1、 2 题是对这两道例题的巩固.

例 3 是为了说明全概率公式的直观意义, 在没有给出公式之前, 启发学生能自主获得.

例 4 以特殊事例进行建模, 通过应用全概率公式计算, 说明抽签的结果与抽签顺序无关. 教学中, 还可以继续证明第四、第五个人摸到白球的概率, 使学生透彻理解抽签时抽到好签的概率与抽签顺序无关.

例 5 先厘清第一次摸球后黑球可能在 A 罐中, 也可能在 B 罐中, 进而分类讨论两种情况下的条件概率, 并应用全概率公式求解. 练习 7.1(2) 的第 2、3 题、习题 7.1A 组第 3、4 题是对该例题的巩固.

例 6 以一个实际问题为背景, 求在检测呈阳性反应时, 该人患有这种疾病的条件概率, 而已知信息是患有这种疾病检测呈阳性反应的概率及不患有这种疾病检测呈阳性反应的概率. 建立典型的贝叶斯公式模型, 是后验概率对先验概率的一个矫正, 并在该例的基础上, 给出一般形式的贝叶斯公式.

### 注意事项

注意“求事件 $A$ 发生且事件 $B$ 发生的概率”与“已知事件 $A$ 发生,求事件 $B$ 发生的概率”两者的不同. 在实际问题中, 需注意分辨.

如果事件 $A$ 是否发生对事件 $B$ 发生的概率没有影响,即 $P\left( {B \mid  A}\right)  = P\left( B\right)$ ,就称两个事件 $A\text{、}B$ 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.

贝叶斯公式诱导出一种统计学观点, 也是哲学观点: 事件的概率可以根据出现的新信息来进行修正.

### 教学建议

计算条件概率通常有两种基本方法: 一是根据定义,得 $P\left( {B \mid  A}\right)  = \frac{P\left( {A \cap  B}\right) }{P\left( A\right) }$ ; 二是改变样本空间,即在一个样本空间为 $A$ 的随机试验中,求事件 $A \cap  B$ 发生的概率,得 $P\left( {B \mid  A}\right)  = \frac{\left| A \cap  B\right| }{\left| A\right| }$ .

#### 7.2 随机变量的分布与特征

### 教学重点

(1)通过具体实例,了解随机变量的含义；

(2)理解随机变量分布；

(3)理解期望与方差的概念,并会进行计算；

(4)感悟随机变量的分布及其数字特征的意义.

核心概念: 随机变量的分布、期望、方差.

核心素养:数学运算、数据分析.

### 内容分析

本节旨在帮助学生了解随机变量的概念及其分布, 理解随机变量的期望与方差, 感悟随机变量的分布及其数字特征的意义, 知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象.

(1)随机变量. 如果在一次试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量 $X$ 来表示,并且 $X$ 是随着试验的结果的不同而变化的,那么我们把这样的变量 $X$ 叫做一个随机变量. 随机变量常用大写字母 $X, Y,\cdots$ 表示. 这是随机变量的一个描述性定义. 其正式定义为: 以样本空间作为定义域的一个函数 $X$ 称为一个随机变量,即对样本空间 $\Omega$ 中任意给定的元素 $\omega$ ,都有唯一的实数 $X\left( \omega \right)$ 与之对应. 注意,教师应该清楚随机变量是满足某种条件的一个函数.

(2)随机变量的分布. 随机变量所有可能的取值以及相应的概率,称为随机变量的分布.

将随机变量 $X$ 所有可能的取值 ${x}_{i}$ 与其对应的概率 ${p}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots , n}\right)$ 列表如下:

<table><tr><td>$X$</td><td>${x}_{1}$</td><td>${x}_{2}$</td><td>...</td><td>${x}_{i}$</td><td>...</td><td>${x}_{n}$</td></tr><tr><td>$P$</td><td>${p}_{1}$</td><td>${p}_{2}$</td><td>...</td><td>${p}_{i}$</td><td>...</td><td>${p}_{n}$</td></tr></table>

称上表为随机变量 $X$ 的概率分布律,简称分布,也称分布列. 还可以表示为 $\left( \begin{array}{llllll} {x}_{1} & {x}_{2} & \cdots & {x}_{i} & \cdots & {x}_{n} \\  {p}_{1} & {p}_{2} & \cdots & {p}_{i} & \cdots & {p}_{n} \end{array}\right)$ ,其中 ${p}_{1} + {p}_{2} + \cdots  + {p}_{i} + \cdots  + {p}_{n} = 1$ . 随机变量的分布表达了取值的可能性大小,也显示了随机变量的(全部)随机性.

(3)随机变量的数学期望. 设一个随机变量 $X$ 所有可能的取值是 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots$ , ${x}_{n}$ ,这些值相应的概率是 ${p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}$ ,则 $E\left\lbrack  X\right\rbrack   = {x}_{1}{p}_{1} + {x}_{2}{p}_{2} + \cdots  + {x}_{n}{p}_{n}$ 叫做这个随机变量的数学期望, 简称期望, 也称均值. 因为期望实际上是由某个分布所确定的, 所以也称为该分布的期望. 数学期望是一个加权平均, 其中的权是随机变量取值对应的概率. 随机变量的期望是一个确定的数, 刻画了这个随机变量的平均取值水平.

期望的线性性质:

① 如果 $X$ 是一个随机变量, $a$ 是一个实数,那么 $E\left\lbrack  {aX}\right\rbrack   = {aE}\left\lbrack  X\right\rbrack$ .

② 如果 $X\text{、}Y$ 是两个随机变量,那么 $E\left\lbrack  {X + Y}\right\rbrack   = E\left\lbrack  X\right\rbrack   + E\left\lbrack  Y\right\rbrack$ .

随机变量的方差. 随机变量 $X$ 的方差 $D\left\lbrack  X\right\rbrack$ 定义为 $D\left\lbrack  X\right\rbrack   = E\left\lbrack  {\left( X - E\left\lbrack  X\right\rbrack  \right) }^{2}\right\rbrack$ , 可变形为 $D\left\lbrack  X\right\rbrack   = E\left\lbrack  {X}^{2}\right\rbrack   - {\left( E\left\lbrack  X\right\rbrack  \right) }^{2}$ . 方差衡量此随机变量对其期望的偏离度或分散程度,即其随机程度. $D\left\lbrack  X\right\rbrack$ 的算术平方根 $\sqrt{D\left\lbrack  X\right\rbrack  }$ 叫做随机变量 $X$ 的标准差,它也是一个衡量随机变量波动大小的量.

(4)随机变量的方差. 设一个随机变量 $X$ 所有可能取值是 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}$ ,其对应的概率是 ${p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}$ ,则

$$
D\left\lbrack  X\right\rbrack   = {\left( {x}_{1} - E\left\lbrack  X\right\rbrack  \right) }^{2}{p}_{1} + {\left( {x}_{2} - E\left\lbrack  X\right\rbrack  \right) }^{2}{p}_{2} + \cdots  + {\left( {x}_{n} - E\left\lbrack  X\right\rbrack  \right) }^{2}{p}_{n}
$$

称为这个随机变量 $X$ 的方差. 随机变量的方差反映了随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散程度).

方差的性质:

① 如果 $X$ 是一个随机变量, $a$ 是一个实数,那么 $D\left\lbrack  {aX}\right\rbrack   = {a}^{2}D\left\lbrack  X\right\rbrack$ .

② 如果 $X\text{、}Y$ 分别是两个独立的随机变量,那么 $D\left\lbrack  {X + Y}\right\rbrack   = D\left\lbrack  X\right\rbrack   + D\left\lbrack  Y\right\rbrack$ .

例 1 旨在帮助学生理解分布的概念, 练习 7.2(1)、习题 7.2A 组第 1 题是对此概念的巩固.

例 2 说明对于同一个随机试验, 研究的随机变量不同, 其分布也不同.

例 3 要求自主构造一个随机变量, 表现出问题的开放性, 是例 2 的延伸. 本例还可以构造与教科书上不同的随机变量,例如,用 $Y$ 表示年降水量级别, $Y = 1\text{、}2\text{、}3$ 分别表示年降水量为 0~200、200~400 和 400 以上,求其分布. 教学中,应注意充分发挥学生的主动性.


例 4 旨在帮助学生理解期望的概念. 习题 7.2A 组第 2、3 题是对此概念的巩固.

例 5 有一定的难度. 首先,要确定随机试验的样本空间的元素个数及随机变量 $X$ 取 $k$ 时的事件含有的基本事件数,前者应用乘法原理,后者应用组合数. 其次,在计算 $X$ 的期望时要应用二项式定理,技巧性较高,要通过分析算式的结构找到突破点. 练习 7.2(2)旨在帮助学生理解期望的概念,并会进行计算.

例 6 是例 4 的延续, 旨在帮助学生理解方差的概念.

例 7 是例 4 的延伸, 旨在应用方差的性质. 习题 7.2A 组第 4 题是对方差计算内容的巩固.

### 注意事项

随机变量 $X$ 可取不同的值,而期望 $E\left\lbrack  X\right\rbrack$ 是一个不变的值,由 $X$ 的分布唯一确定,所以也称为 $X$ 的概率分布的数学期望,它反映了 $X$ 取值的平均水平.

期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值, 它是概率意义下的平均值, 不是相应数值的算术平均数. 期望的线性性质②可以推广到任意有限个随机变量的情况, 即成立 $E\left\lbrack  {{X}_{1} + {X}_{2} + \cdots  + {X}_{n}}\right\rbrack   = E\left\lbrack  {X}_{1}\right\rbrack   + E\left\lbrack  {X}_{2}\right\rbrack   + \cdots  + E\left\lbrack  {X}_{n}\right\rbrack$ .

随机变量的期望还有以下性质:

① 若 $c$ 为常数,则 $E\left\lbrack  c\right\rbrack   = c$ .

② 如果 $X\text{、}Y$ 是两个相互独立的随机变量,那么 $E\left\lbrack  {XY}\right\rbrack   = E\left\lbrack  X\right\rbrack   \cdot  E\left\lbrack  Y\right\rbrack$ .

随机变量的方差还有以下性质:

① 若 $c$ 为常数,则 $D\left\lbrack  c\right\rbrack   = 0$ .

② 如果 $X$ 是一个随机变量, $a$ 是一个实数,那么 $D\left\lbrack  {X + a}\right\rbrack   = D\left\lbrack  X\right\rbrack$ .

对于连续性随机变量 $\xi$ ,其密度函数为 $f\left( x\right)$ ,若 $E\left\lbrack  {\xi }^{2}\right\rbrack   = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}f\left( x\right) \mathrm{d}x$ 存在, 则 $D\left\lbrack  \xi \right\rbrack   = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left\lbrack  x - E\left( \xi \right) \right\rbrack  }^{2}f\left( x\right) \mathrm{d}x$ 称为 $\xi$ 的方差. 连续型随机变量的数字特征的计算不作教学要求, 此处给出仅供教师参考.

### 教学建议

尽管随机变量的名字中用了“变量”这两个字, 但实际上它是一个函数. 随机变量的取值在随机现象发生前是随机的.

下面的性质可以在解决问题时使用: 若 $X$ 为随机变量, $a\text{、}b$ 为实数, 则 $E\left\lbrack  {{aX} + b}\right\rbrack   = {aE}\left\lbrack  X\right\rbrack   + b, D\left\lbrack  {{aX} + b}\right\rbrack   = {a}^{2}D\left\lbrack  X\right\rbrack$ .

#### 7.3 常用分布

### 教学重点

(1)通过具体实例,了解伯努利分布；

(2)掌握二项分布、超几何分布及其数字特征(期望和方差),并能解决简单的实际问题;

(3)通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.

核心概念: 二项分布、超几何分布、正态分布.

核心素养:数学建模、数据分析、数学运算等.

### 内容分析

本节旨在帮助学生了解几个重要的概率模型及其分布, 解决简单的实际问题.

(1)伯努利分布. 设有一个伯努利试验,其成功概率为 $p\left( {0 < p < 1}\right)$ ,失败概率为 $q$ ,且 $p + q = 1$ . 若伯努利试验成功,则相应的随机变量取值为 1 ; 若伯努利试验失败, 则相应的随机变量取值为 0 . 只取两个值的随机变量称为伯努利型, 其分布称为伯努利分布,也称随机变量 $X$ 服从参数为 $p$ 的两点分布或者 0-1 分布,其分布列为 $\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\  p & 1 - p \end{matrix}\right)$ . 此时 $E\left\lbrack  X\right\rbrack   = p, D\left\lbrack  X\right\rbrack   = p - {p}^{2}$ .

(2)二项分布. 设有一个伯努利试验,其成功概率为 $p\left( {0 < p < 1}\right)$ ,失败概率为 $q$ ,且 $p + q = 1$ . 独立地重复该试验 $n$ 次,用 $X$ 表示成功的次数,则随机变量 $X$ 的分布称为二项分布,也称成功次数 $X$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布 $B\left( {n, p}\right)$ ,其分布列为 $\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & k & \cdots & n \\  {q}^{n} & {C}_{n}^{1}p{q}^{n - 1} & {C}_{n}^{2}{p}^{2}{q}^{n - 2} & \cdots & {C}_{n}^{k}{p}^{k}{q}^{n - k} & \cdots & {p}^{n} \end{matrix}\right)$ . 于是, $E\left\lbrack  X\right\rbrack   = {np}, D\left\lbrack  X\right\rbrack   = \; {np}\left( {1 - p}\right)$ .

(3)超几何分布. 从一个装有大小与质地相同的 $a$ 个白球、 $b$ 个黑球的袋中依次随机且不放回地取 $n$ 个球,其中的白球数 $X$ 的分布称为超几何分布. 此随机变量 $X$ 的分布是 $P\left( {X = k}\right)  = \frac{{\mathrm{C}}_{a}^{k}{\mathrm{C}}_{b}^{n - k}}{{\mathrm{C}}_{a + b}^{n}}$ ,其中 $k \leq  n, k \leq  a, n - k \leq  b$ . 如果随机变量 $X$ 服从参数为 $N\text{、}M\text{、}n$ 的超几何分布,其中 $N = a + b, M = a$ ,那么 $E\left( X\right)  = \frac{nM}{N}, D\left( X\right) \; = \frac{n\left( {N - n}\right) \left( {N - M}\right) M}{{N}^{2}\left( {N - 1}\right) }$ .

(4)正态分布. 若随机变量 $X$ 的概率分布律为 ${\varphi }_{\mu ,{\sigma }^{2}}\left( x\right)  = \frac{1}{\sqrt{{2\pi }{\sigma }^{2}}}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left( x - \mu \right) }^{2}}{2{\sigma }^{2}}}$ ,则称该分布为正态分布. ${\varphi }_{\mu ,{\sigma }^{2}}\left( x\right)  = \frac{1}{\sqrt{{2\pi }{\sigma }^{2}}}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left( x - \mu \right) }^{2}}{2{\sigma }^{2}}}$ 称为正态分布的密度函数,其中 $x \in  \mathbf{R},\mu$ 及 ${\sigma }^{2}$ 是参数,且 $\sigma  > 0, - \infty  < \mu  <  + \infty$ ,参数 $\mu$ 和 ${\sigma }^{2}$ 分别为正态变量的数学期望和方差.

期望为 $\mu$ 、标准差为 $\sigma$ 的正态分布通常记作 $X \sim  N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)$ .


正态分布的密度函数 ${\varphi }_{\mu ,{\sigma }^{2}}\left( x\right)  = \frac{1}{\sqrt{{2\pi }{\sigma }^{2}}}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left( x - \mu \right) }^{2}}{2{\sigma }^{2}}}$ 的图像叫做正态曲线,也称钟形曲线 (图 7-R1). 该函数图像与 $x$ 轴所夹部分的面积为 1,即 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\varphi }_{\mu ,{\sigma }^{2}}\left( x\right) \mathrm{d}x = \; {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{{2\pi }{\sigma }^{2}}}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left( x - \mu \right) }^{2}}{2{\sigma }^{2}}}\mathrm{\;d}x = 1.$

![bo_d402pi3ef24c73d2tha0_64_609_931_427_282_0.jpg](../images/bo_d402pi3ef24c73d2tha0_64_609_931_427_282_0.jpg)

图 7-R1

若 $X \sim  N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)$ ,则 $P\left( {X \leq  x}\right)  = {\int }_{-\infty }^{x}{\varphi }_{\mu ,{\sigma }^{2}}\left( t\right) \mathrm{d}t$ 称为概率分布函数.

由于本教材中未涉及有关积分的内容, 因此我们换一种说法来认识正态分布.

设 $X$ 是一个取实数值的随机变量. 如果对任何给定的实数 $a$ 与 $b\left( {a < b}\right) , X$ 落在区间 $\left( {a, b}\right)$ 上的概率 $P\left( {a < X < b}\right)$ 等于三条直线: $y = 0\text{、}x = a\text{、}x = b$ 与正态密度函数 $y = {\varphi }_{\mu ,{\sigma }^{2}}\left( x\right)$ 的图像所围的区域面积 (图 7-R2),那么 $X$ 服从正态分布,或更准确地说, $X$ 服从参数为 $\mu \text{、}{\sigma }^{2}$ 的正态分布,记为 $X \sim  N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)$ .

![bo_d402pi3ef24c73d2tha0_64_577_1731_492_304_0.jpg](../images/bo_d402pi3ef24c73d2tha0_64_577_1731_492_304_0.jpg)

图 7-R2

$X$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内取值的概率为 $1.X$ 在区间 $\left( {\mu  - \sigma ,\mu  + \sigma }\right) \text{、}(\mu  - {2\sigma },\mu  + \; {2\sigma })$ 及 $\left( {\mu  - {3\sigma },\mu  + {3\sigma }}\right)$ 内取值的概率分别是 ${68.3}\%$ 、 ${95.4}\%$ 及 ${99.7}\%$ . 由于 $X$ 在区间 $\left( {\mu  - {3\sigma },\mu  + {3\sigma }}\right)$ 之外取值的概率是 ${0.3}\%$ ,因此其取值几乎都在距 $x = \mu$ 三倍标准差之内,这就是正态分布的 ${3\sigma }$ 原则.

数学期望为 0 、标准差为 1 的正态分布叫做标准正态分布,记为 $X \sim  N\left( {0,1}\right)$ . 标准正态分布的密度函数为 $\varphi \left( x\right)  = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}$ . 函数 $y = \varphi \left( x\right)$ 从 $- \infty$ 到 $x$ 的累计面积称为标准正态分布函数,即 $\Phi \left( x\right)  = {\int }_{-\infty }^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{t}^{2}}{2}}\mathrm{\;d}t$ ,它具有性质 $\Phi \left( {-x}\right)  = 1 - \Phi \left( x\right) .\Phi \left( x\right)$ 的解析式不作教学要求, 此处给出仅供教师参考.

正态分布可以转化为标准正态分布. 若 $X \sim  N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)$ ,则 $\frac{X - \mu }{\sigma } \sim  N\left( {0,1}\right)$ .

例 1 旨在帮助学生理解伯努利试验.

例 2 用例题的方式计算二项分布的期望和方差, 使本节内容完整. 练习 7.3(1) 进一步巩固二项分布.

例 3 是不放回摸球模型, 通过特殊问题的解决引出超几何分布. 教学中可以设计一些问题, 启发学生思考, 进一步理解超几何分布的内涵.

例 4 是例 3 的延续, 计算超几何分布的期望, 因为这样的计算对学生来说比较困难, 所以没有直接利用期望公式进行计算, 而是另外构造等价的随机变量来计算期望. 该例题没有计算方差, 教学中, 对于学有余力的学生, 可以提出直接利用公式计算期望和方差的问题, 请学生探究.

例 5 、例 6 是对正态分布的应用, 主要是运用正态分布的密度函数图像的对称性来实现问题的转化. 例 6 将正态分布转化为标准正态分布, 解决问题后进一步指出正态分布的 ${3\sigma }$ 原则,体现应用性. 习题 7.3B 组第 3 题将其进一步巩固.

### 注意事项

二项分布必须同时满足以下两个条件: ① 在一次试验中试验结果只有 $A$ 与 $\bar{A}$ 这两个,且事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ,事件 $\bar{A}$ 发生的概率为 $1 - p$ ; ②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件 $A$ 发生的概率均为同一常数 $p$ ,事件 $\bar{A}$ 发生的概率均为 $1 - p$ .

超几何分布的特征: 一个容量为 $N$ 的总体内含有两种不同的事物 $A\left( {M\text{个}}\right)$ 及 $B\left( {N - M\text{个}}\right)$ ,任取 $n$ 个,其中恰有 $X$ 个 $A$ . 符合该条件的即可断定是超几何分布, 按照超几何分布的分布列 $P\left( {X = k}\right)  = \frac{{\mathrm{C}}_{M}^{k}{\mathrm{C}}_{N - M}^{n - k}}{{\mathrm{C}}_{N}^{n}}\left( {k = 0,1,2,\cdots , m}\right)$ 进行处理.

当 $n$ 较小、而 $N$ 较大时,有近似公式 $P\left( {X = k}\right)  = \frac{{\mathrm{C}}_{M}^{k}{\mathrm{C}}_{N - M}^{n - k}}{{\mathrm{C}}_{N}^{n}} \approx  {\mathrm{C}}_{n}^{k}{p}^{k}{q}^{n - k}$ ,其中 $p = \frac{M}{N}, q = 1 - p$ (此公式不作教学要求). 这说明此时超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替. 超几何分布是不放回抽样, 而二项分布是放回抽样. 这说明, 当总体容量 $N$ 很大时,不放回抽样近似于放回抽样.

### 教学建议

根据二项分布, 直观地说, 做一件事情, 不管成功概率多小, 只要执着地努力, 重复的次数足够多, 就有很大可能会成功.

如果某个随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的, 而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用, 那么相应于这种随机现象的随机变量的概率分布将近似服从正态分布. 正态分布是生活中的一个常用词, 但正确地理解数据非常重要, 应该通过误差模型来学习服从正态分布的随机变量. 但是正态分布的一些事实与结论, 要用到微积分的知识才能证明, 并且学生目前能够解决的问题类型也非常有限,主要限于变换以后的对称问题. 标准正态变量 $X$ 在区间 $\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right)$ 内的概率公式为: $P\left( {{x}_{1} < X \leq  {x}_{2}}\right)  = P\left( {X \leq  {x}_{2}}\right)  - P\left( {X \leq  {x}_{1}}\right)  = \Phi \left( {x}_{2}\right)  - \Phi \left( {x}_{1}\right)$ .

#### 三、参考答案或提示

##### 7.1 条件概率与相关公式

练习 ${7.1}\left( 1\right)$

1. (1) $\frac{1}{2}$ . (2) $\frac{1}{3}$ .

2. $P\left( A\right)  = \frac{1}{2}, P\left( B\right)  = \frac{5}{6}, P\left( {A \cap  B}\right)  = \frac{1}{3}, P\left( {A \mid  B}\right)  = \frac{2}{5}$ .

3. (1) $\frac{10}{19}$ . (2) $\frac{5}{19}$ .

练习 ${7.1}\left( 2\right)$

1. 0.935.

2. 设事件 $A$ 表示第一次取出的是白球,事件 $B$ 表示第二次取出的是白球,则 $P\left( B\right)  = P\left( A\right) P\left( {B \mid  A}\right)  + P\left( \bar{A}\right) P\left( {B \mid  \bar{A}}\right)  = \frac{4}{9}.$

3. $\frac{3}{5}$ .

练习 7.1(3)

1. $\frac{4}{5}$ .

2. $\frac{20}{21}$ .

习题 7.1

A 组

1. $\frac{2}{3}$ .

2. $\frac{1}{2},\frac{1}{2}$ .

3. 0.031 5.

4. $\frac{2}{5}$ .

B 组

1.0.5.

2. 设事件 $A$ 表示第 1 次摸到 1 号球,事件 $B$ 表示第 2 次摸到 2 号球.

$P\left( B\right)  = P\left( {B \mid  A}\right) P\left( A\right)  + P\left( {B \mid  \bar{A}}\right) P\left( \bar{A}\right)  = \frac{1}{N - 1} \cdot  \frac{1}{N} + \frac{1}{N} \cdot  \frac{N - 1}{N} = \frac{{N}^{2} - N + 1}{{N}^{2}\left( {N - 1}\right) }.$

##### 7.2 随机变量的分布与特征

练习 ${7.2}\left( 1\right)$

1. $\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  \frac{6}{36} & \frac{10}{36} & \frac{8}{36} & \frac{6}{36} & \frac{4}{36} & \frac{2}{36} \end{matrix}\right)$ .

2. B.

练习 ${7.2}\left( 2\right)$

1.2 .

2. $\frac{5}{3}$ .

练习 ${7.2}\left( 3\right)$

1. 略.

2. 0.8.

习题 7.2

A 组

1. $\left( \begin{matrix} 3 & 4 & 5 & 6 \\  \frac{1}{20} & \frac{3}{20} & \frac{6}{20} & \frac{10}{20} \end{matrix}\right)$ .

2. $\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\  \frac{1}{36} & \frac{3}{36} & \frac{5}{36} & \frac{7}{36} & \frac{9}{36} & \frac{11}{36} \end{matrix}\right) , E\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{161}{36}$ .

3. $a = {0.2}, b = {0.4}$ .

4. (1) $\frac{12}{25}$ . (2) $E\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{4}{5}, D\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{9}{25}$ .

B 组

1. 1.

2. $\frac{5}{9}$ .

3. (1) ${X}_{1}$ 的分布为 $\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{matrix}\right) ,{X}_{2}$ 的分布为 $\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{matrix}\right)$ ,

${X}_{1} + {X}_{2}$ 的分布为 $\left( \begin{matrix} 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & {10} \\  \frac{1}{25} & \frac{2}{25} & \frac{3}{25} & \frac{4}{25} & \frac{5}{25} & \frac{4}{25} & \frac{3}{25} & \frac{2}{25} & \frac{1}{25} \end{matrix}\right)$ ,

$E\left\lbrack  {{X}_{1} + {X}_{2}}\right\rbrack   = 6 = E\left\lbrack  {X}_{1}\right\rbrack   + E\left\lbrack  {X}_{2}\right\rbrack  , D\left\lbrack  {{X}_{1} + {X}_{2}}\right\rbrack   = 4 = D\left\lbrack  {X}_{1}\right\rbrack   + D\left\lbrack  {X}_{2}\right\rbrack  .$

(2) ${X}_{1}$ 的分布为 $\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{matrix}\right) ,{X}_{2}$ 的分布为 $\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{matrix}\right)$ ,

${X}_{1} + {X}_{2}$ 的分布为 $\left( \begin{matrix} 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & {10} \\  \frac{0}{20} & \frac{2}{20} & \frac{2}{20} & \frac{4}{20} & \frac{4}{20} & \frac{2}{20} & \frac{2}{20} & \frac{0}{20} &  \end{matrix}\right)$ ,

$E\left\lbrack  {{X}_{1} + {X}_{2}}\right\rbrack   = 6 = E\left\lbrack  {X}_{1}\right\rbrack   + E\left\lbrack  {X}_{2}\right\rbrack  , D\left\lbrack  {{X}_{1} + {X}_{2}}\right\rbrack   = 3 \neq  4 = D\left\lbrack  {X}_{1}\right\rbrack   + D\left\lbrack  {X}_{2}\right\rbrack  .$

4. 记 ${\mathrm{C}}_{0}^{0} = 0$ ,对 $m = 0,1,2,3,4,5,6$ ,利用全概率公式,得

$$
P\left( {Y = m}\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{k = m}}^{6}P\left( {Y = m \mid  X = k}\right) P\left( {X = k}\right)  = \frac{1}{6}\mathop{\sum }\limits_{{k = m}}^{6}\frac{{\mathrm{C}}_{k}^{m}}{{2}^{k}}.
$$

计算可得 $Y$ 的分布为 $\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\  \frac{21}{128} & \frac{5}{16} & \frac{33}{128} & \frac{1}{6} & \frac{29}{384} & \frac{1}{48} & \frac{1}{384} \end{matrix}\right)$ ,

由此通过计算,可得 $E\left\lbrack  Y\right\rbrack   = \frac{7}{4}, D\left\lbrack  Y\right\rbrack   = \frac{77}{48}$ .

##### 7.3 常用分布

练习 ${7.3}\left( 1\right)$

1. $\frac{1}{3}$ .

2. 4.2.

练习 ${7.3}\left( 2\right)$

1. $\frac{1}{2}$ .

2. $X$ 的分布为 $\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\  \frac{6}{56} & \frac{30}{56} & \frac{20}{56} \end{matrix}\right) , E\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{9}{4}, D\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{45}{112}$ .

$Y$ 的分布为 $\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\  \frac{20}{56} & \frac{30}{56} & \frac{6}{56} \end{matrix}\right) , E\left\lbrack  Y\right\rbrack   = \frac{3}{4}, D\left\lbrack  Y\right\rbrack   = \frac{45}{112}$ .

3. (1) 设事件 $A$ 表示 5 张牌中至少有一张黑桃. $P\left( A\right)  = 1 - \frac{{\mathrm{C}}_{39}^{5}}{{\mathrm{C}}_{52}^{5}} = \frac{7411}{9520}$ .

(2)设事件 $B$ 表示 5 张牌中至少有一个对子. $P\left( B\right)  = 1 - \frac{{\mathrm{C}}_{13}^{5} \cdot  {\left( {\mathrm{C}}_{4}^{1}\right) }^{5}}{{\mathrm{C}}_{52}^{5}} = \frac{2053}{4165}$ .

练习 ${7.3}\left( 3\right)$

1. $1 - k$ .

2. D.

习题 7.3

A 组

1.(1) $X$ 的分布实际上是一个二项分布 $B\left( {6,\frac{1}{3}}\right)$ .

(2) $P\left( {X \geq  1}\right)  = 1 - P\left( {X = 0}\right)  = 1 - {\left( \frac{2}{3}\right) }^{6} = \frac{665}{729}$ .

2. $\frac{140}{429}$ .

3. $\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\  \frac{4}{120} & \frac{36}{120} & \frac{60}{120} & \frac{20}{120} \end{matrix}\right)$ .

B 组

1. $\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  {\mathrm{C}}_{39}^{5} & {\mathrm{C}}_{13}^{1}{\mathrm{C}}_{39}^{4} & {\mathrm{C}}_{13}^{2}{\mathrm{C}}_{39}^{3} & {\mathrm{C}}_{13}^{3}{\mathrm{C}}_{39}^{2} & {\mathrm{C}}_{13}^{4}{\mathrm{C}}_{39}^{1} & {\mathrm{C}}_{13}^{5} \\  {\mathrm{C}}_{55}^{5} & {\mathrm{C}}_{55}^{1} & {\mathrm{C}}_{55}^{2} & {\mathrm{C}}_{55}^{3} & {\mathrm{C}}_{55}^{2} & {\mathrm{C}}_{55}^{3} \end{matrix}\right) , E\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{5}{4}, D\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{235}{272}$ .

2. (1) ${X}_{1}{X}_{2}$ 的分布 $\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\  1 - \frac{{C}_{a}^{2}}{{C}_{a + b}^{2}} & \frac{{C}_{a}^{2}}{{C}_{a + b}^{2}} \end{matrix}\right) , E\left\lbrack  {{X}_{1}{X}_{2}}\right\rbrack   = \frac{{C}_{a}^{2}}{{C}_{a + b}^{2}}$ .

(2) $E\left\lbrack  {X}_{k}^{2}\right\rbrack   = \frac{a}{a + b}, E\left\lbrack  {X}^{2}\right\rbrack   = E\left\lbrack  {{X}_{1}^{2} + 2{X}_{1}{X}_{2} + {X}_{2}^{2}}\right\rbrack   = \frac{2a}{a + b} + \frac{{2a}\left( {a - 1}\right) }{\left( {a + b}\right) \left( {a + b - 1}\right) }$ , $D\left\lbrack  X\right\rbrack   = E\left\lbrack  {X}^{2}\right\rbrack   - {\left( E\left\lbrack  X\right\rbrack  \right) }^{2} = \frac{{2ab}\left( {a + b - 2}\right) }{{\left( a + b\right) }^{2}\left( {a + b - 1}\right) }.$

3. 令 $Y = \frac{X - 3}{\sigma }$ ,则 $Y \sim  N\left( {0,1}\right)$ . 因此 $P\left( {1 \leq  X \leq  5}\right)  = P\left( {-\frac{2}{\sigma } \leq  Y \leq  \frac{2}{\sigma }}\right)  = \; \Phi \left( \frac{2}{\sigma }\right)  - \Phi \left( {-\frac{2}{\sigma }}\right)  = {2\Phi }\left( \frac{2}{\sigma }\right)  - 1$ ,又 $P\left( {1 \leq  X \leq  5}\right)  = {0.6},\Phi \left( \frac{2}{\sigma }\right)  = {0.8}, P\left( {X > 5}\right)  = \; P\left( {Y > \frac{2}{\sigma }}\right)  = 1 - \Phi \left( \frac{2}{\sigma }\right)  = {0.2}.$

复习题

A 组

1. $\frac{1}{3}$ .

2. $\frac{1}{2}$ .

3. (1) $\frac{3}{5}$ . (2) $\frac{3}{10}$ . (3) $\frac{1}{2}$ .

4. $a = \frac{1}{6}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{2}$ .

5. $E\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{3}{4}, D\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{3}{16}$ .

6. (1) $\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\  \frac{4}{20} & \frac{12}{20} & \frac{4}{20} \end{matrix}\right)$ . (2) $E\left\lbrack  X\right\rbrack   = 1, D\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{2}{5}$ . (3) $\frac{4}{5}$ .

7. 1.96.

8. $\left( \begin{matrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\  \frac{1}{12} & \frac{5}{12} & \frac{5}{12} & \frac{1}{12} \end{matrix}\right)$ .

B 组

1.0.3.

2. $\frac{95}{99}$ .

3. $\frac{1}{3}$ .

(2) $\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\  \frac{5}{12} & \frac{6}{12} & \frac{1}{12} \end{matrix}\right) , E\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{2}{3}$ .

5. 设事件 $A$ 表示甲摸球一次摸出红球; 事件 $B$ 表示乙摸球一次摸出红球.

$A$ 与 $B$ 相互独立. $P\left( A\right)  = P\left( B\right)  = \frac{1}{3}, P\left( \bar{A}\right)  = P\left( \bar{B}\right)  = \frac{2}{3}$ .

$P\left( {X = 0}\right)  = P\left( {\bar{A}B}\right)  + P\left( {\bar{A}\bar{B}\bar{A}}\right)  = \frac{14}{27}, P\left( {X = 1}\right)  = P\left( {A\bar{A}}\right)  + P\left( {\bar{A}\bar{B}A}\right)  = \frac{10}{27},$

$P\left( {X = 2}\right)  = P\left( {{AA}\bar{A}}\right)  = \frac{2}{27}, P\left( {X = 3}\right)  = P\left( {AAA}\right)  = \frac{1}{27}.$

$X$ 的分布为 $\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\  \frac{14}{27} & \frac{10}{27} & \frac{2}{27} & \frac{1}{27} \end{matrix}\right) , E\left\lbrack  X\right\rbrack   = \frac{17}{27}$ .

### 拓展与思考

1. (1) $\frac{3}{4},\frac{1}{2}$ .

(2) $X$ 的分布为 $\left( \begin{matrix}  - 3 & 1 \\  \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{matrix}\right) , E\left\lbrack  X\right\rbrack   = 0;Y$ 的分布为 $\left( \begin{matrix}  - 1 & 1 \\  \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right) , E\left\lbrack  Y\right\rbrack   = 0$ .

(3)甲的策略获胜概率更大,但风险(方差)也更高,平均收益(期望)与乙相同.

2. 设事件 ${A}_{1}\text{、}{A}_{2}\text{、}{A}_{3}$ 分别表示交换 1 次、2 次、3 次后,黑球还在 $A$ 罐中,则

$$
P\left( {A}_{1}\right)  = \frac{2}{3}, P\left( {A}_{2}\right)  = P\left( {{A}_{2} \mid  {A}_{1}}\right) P\left( {A}_{1}\right)  + P\left( {{A}_{2} \mid  \overline{{A}_{1}}}\right) P\left( \overline{{A}_{1}}\right)  = \frac{5}{9},
$$

$$
P\left( {A}_{3}\right)  = P\left( {{A}_{3} \mid  {A}_{2}}\right) P\left( {A}_{2}\right)  + P\left( {{A}_{3} \mid  \overline{{A}_{2}}}\right) P\left( \overline{{A}_{2}}\right)  = \frac{14}{27}.
$$

设事件 ${A}_{n}$ 表示: 交换 $n$ 次后黑球还在 $A$ 罐中,则

$P\left( {A}_{k}\right)  = P\left( {{A}_{n} \mid  {A}_{n - 1}}\right) P\left( {A}_{n - 1}\right)  + P\left( {{A}_{n} \mid  \overline{{A}_{n - 1}}}\right) P\left( \overline{{A}_{n - 1}}\right)  = \frac{2}{3}P\left( {A}_{n - 1}\right)  + \frac{1}{3}\left( {1 - P\left( {A}_{n - 1}\right) }\right) .$

解得 $P\left( {A}_{n}\right)  = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\left( \frac{1}{3}\right) }^{n}$ .

3. 设此人赢为事件 $A$ . 第一次掷出的点数之和记为 $X$ ,则 $P\left( {X = k}\right)  = \frac{k - 1}{36}, k = \; 2,3,4,5,6,7;P\left( {X = k}\right)  = \frac{{13} - k}{36}, k = 8,9,{10},{11},{12}.$

由全概率公式, $P\left( A\right)  = \mathop{\sum }\limits_{{k = 2}}^{{12}}P\left( {A \mid  X = k}\right) P\left( {X = k}\right)$ ,且

$$
\begin{aligned}  & P\left( {A \mid  X = k}\right)  = 1, k = 7,{11}; \\  & P\left( {A \mid  X = k}\right)  = 0, k = 2,3,{12}. \end{aligned}
$$

记 ${x}_{k} = P\left( {X = k}\right)$ . 对 $k = 4,5,6,8,9,{10}$ ,

$$
P\left( {A \mid  X = k}\right)  = {x}_{k} + \left( {\frac{5}{6} - {x}_{k}}\right)  \cdot  {x}_{k} + {\left( \frac{5}{6} - {x}_{k}\right) }^{2} \cdot  {x}_{k} + \cdots
$$

$$
= \frac{{x}_{k}}{{x}_{k} + \frac{1}{6}}.
$$

所以 $P\left( A\right)  = \frac{244}{495} \approx  {0.493}$ .

#### 四、相关阅读材料

### 阅读材料

### 血液检查中的期望值

虽然巧合或者极值是引人注目的, 但是总的来说, 平均值或者说“期望值”却能给我们提供更多的信息, 一个变量的期望值是这个变量的加权平均值, 它是通过这个变量每一个取值出现的概率来衡量的.

假设一家医院要对可能患某种疾病的人群进行排查, 为此, 要检查每个人的血液. 已知大概每 100 人之中就有 1 人患有这种疾病. 人们是每 50 人一组地来到医院做检查的, 这时, 院长想知道, 是否应该将 50 人的血液样本混合在一起进行检查, 以此来代替对他们每个人的检查. 如果混合样本呈阴性, 那么院长可以肯定 50 个人都没有患这种疾病；如果呈阳性,那么他需要逐个地对每个人进行血液检查. 假如院长将每组 50 人的血液样本混合在一起来检查, 那么检查次数的期望值是多少呢?

院长将要么进行一次检查 (如果混合样本溶液呈阴性), 要么进行 51 次检查 (如果混合样本溶液呈阳性). 由于一个人没有患这种疾病的概率是 $\frac{99}{100}$ ,因此所有 50 个人都没有患这种疾病的概率是 ${\left( \frac{99}{100}\right) }^{50}$ . 这样,院长只需进行一次血液检查的概率是 ${\left( \frac{99}{100}\right) }^{50}$ . 另一方面,因为至少有一个人患有这种疾病的概率是 $1 - {\left( \frac{99}{100}\right) }^{50}$ ,所以他要进行 51 次检查的概率是 $1 - {\left( \frac{99}{100}\right) }^{50}$ . 因此,每组 50 人需要检查次数的期望值是 $1 \times$

$$
{\left( \frac{99}{100}\right) }^{50} + {51} \times  \left\lbrack  {1 - {\left( \frac{99}{100}\right) }^{50}}\right\rbrack   \approx  {21}\text{ (次). }
$$

如果有许多人进行血液检查,院长可以从每个人的血液样本中取一部分出来,每 50 个样本为一份进行混合, 然后进行检查. 如果结果呈阳性, 可以他可以对 50 个样本中剩下的部分进行逐个检查. 这样的做法是挺聪明的, 因为平均来说, 每 50 个人只需要检查 21 次.

### 参考文献

约翰・艾伦・保罗士. 数盲——数学无知者眼中的迷惘世界[M]. 柳柏濂,译. 上海:上海教育出版社,2020.